Calculando o Volume

Veja também: Formas tridimensionais

Esta página explica como calcular o volume de objetos sólidos, ou seja, quanto você caberia em um objeto se, por exemplo, o enchesse com um líquido.

Área é a medida de quanto espaço existe dentro de um objeto bidimensional (veja nossa página: Calculando Área para mais).

O volume é a medida de quanto espaço existe em um objeto tridimensional. Nossa página em formas tridimensionais explica os fundamentos de tais formas.



No mundo real, calcular o volume provavelmente não é algo que você usará com tanta frequência como calcular a área.

No entanto, ainda pode ser importante. Ser capaz de calcular o volume permitirá, por exemplo, calcular quanto espaço de embalagem você tem ao mudar de casa, quanto espaço de escritório você precisa ou quanta geleia você pode colocar em uma jarra.

Também pode ser útil para entender o que a mídia quer dizer quando fala sobre a capacidade de uma barragem ou o fluxo de um rio.

Calculando área e volume. A área é medida em unidades ao quadrado, quantos quadrados caberão em um plano (espaço bidimensional)? O volume é medido em unidades cúbicas, quantos cubos caberão em um objeto sólido (tridimensional)?

Uma nota sobre unidades

o que sigilo significa para você

A área é expressa em unidades quadradas, porque são duas medidas multiplicadas juntas.

O volume é expresso em unidades cúbicas, pois é a soma de três medidas (comprimento, largura e profundidade) multiplicadas. As unidades cúbicas incluem cm3, m3e pés cúbicos.

AVISO!

O volume também pode ser expresso como capacidade líquida.

Sistema métrico

No sistema métrico a capacidade de líquido é medida em litros, o que é diretamente comparável à medida cúbica, pois 1ml = 1cm3. 1 litro = 1.000 ml = 1.000 cm3.

Sistema Imperial / Inglês

No sistema imperial / inglês, as medidas equivalentes são onças fluidas, pintas, quartos e galões, que não são facilmente convertidos em pés cúbicos. Portanto, é melhor usar unidades de volume líquido ou sólido.

Para mais informações, consulte nossa página em Sistemas de Medição


Fórmulas básicas para calcular o volume

Volume de sólidos baseados em retângulo

Área = largura x comprimento. Volume = largura x comprimento x altura.

Considerando que a fórmula básica para a área de uma forma retangular é comprimento × largura, a fórmula básica para o volume é o comprimento × largura × altura.

Como você se refere às diferentes dimensões não altera o cálculo: você pode, por exemplo, usar 'profundidade' em vez de 'altura'. O importante é que as três dimensões se multipliquem juntas. Você pode multiplicar na ordem que quiser, pois isso não mudará a resposta (veja nossa página em multiplicação para mais).

Uma caixa com as dimensões de 15 cm de largura, 25 cm de comprimento e 5 cm de altura tem um volume de:
15 × 25 × 5 = 1875 cm3

Volume de prismas e cilindros

Esta fórmula básica pode ser estendida para cobrir o volume de cilindros e prismas também. Em vez de uma extremidade retangular, você simplesmente tem outra forma: um círculo para cilindros, um triângulo, hexágono ou, na verdade, qualquer outro polígono para um prisma.

Efetivamente, para cilindros e prismas, o volume é a área de um lado multiplicada pela profundidade ou altura da forma.

A fórmula básica para o volume de prismas e cilindros é, portanto:

Área da forma final × a altura / profundidade do prisma / cilindro.


Volume de cones e pirâmides

O mesmo princípio acima (largura × comprimento × altura) vale para calcular o volume de um cone ou pirâmide, exceto que, porque eles chegam a um ponto, o volume é apenas uma proporção do total que seria se continuassem em a mesma forma.

O volume de um cone ou pirâmide é exatamente um terço do que seria de uma caixa ou cilindro com a mesma base.

A fórmula é, portanto:

Área da base ou forma final × a altura do cone / pirâmide ×1/3

Consulte nossa página Calculando Área se você não consegue se lembrar como calcular a área de um círculo ou triângulo.

Por exemplo, para calcular o volume de um cone com um raio de 5cm e uma altura de 10cm:

A área dentro de um círculo = πr2 (onde π (pi) é aproximadamente 3,14 e r é o raio do círculo).

Neste exemplo, área da base (círculo) = πrdois= 3,14 × 5 × 5 = 78,5 cmdois.

78,5 × 10 = 785

785 × 1/3 = 261,6667 cm3

Calcule o volume de uma esfera. 4/3 x pi x raio ao cubo.

Volume de uma esfera

Como acontece com um círculo, você precisa de π (pi) para calcular o volume de uma esfera.

A fórmula é 4/3 × π × raio3.

Você pode estar se perguntando como calcular o raio de uma bola. Sem enfiar uma agulha de tricô nele (eficaz, mas terminal para a bola!), Existe uma maneira mais simples.

Você pode medir a distância em torno do ponto mais largo da esfera diretamente, por exemplo, com uma fita métrica. Este círculo é a circunferência e tem o mesmo raio da própria esfera.

A circunferência de um círculo é calculada como 2 x π x raio.

Para calcular o raio da circunferência, você:

Divida a circunferência por (2 x π) .


Exemplos trabalhados: Calculando o Volume


Exemplo 1

Cilindro com comprimento de 20cm e raio de 2,5cm
Calcule o volume de um cilindro com comprimento de 20cm e cuja extremidade circular tem raio de 2,5cm.

Primeiro, calcule a área de uma das extremidades circulares do cilindro.

A área de um círculo é πrdois(Pi × raio × raio). π (pi) é aproximadamente 3,14.

A área de um fim é, portanto:

3,14 x 2,5 x 2,5 = 19,63 cmdois

O volume é a área de uma extremidade multiplicada pelo comprimento e é, portanto:

19,63cmdoisx 20cm = 392,70cm3




Esfera com raio de 2cm e pirâmide com base quadrada de 2,5cm e altura de 10cm.

Exemplo 2

Qual é o maior em volume, uma esfera com raio de 2cm ou uma pirâmide com base quadrada de 2,5cm e altura de 10cm?

Primeiro, calcule o volume da esfera .

O volume de uma esfera é 4/3 × π × raio3.

O volume da esfera é, portanto:

4 ÷ 3 x 3,14 × 2 × 2 × 2 = 33,51 cm3

Em seguida, calcule o volume da pirâmide .

O volume de uma pirâmide é 1/3 × área da base × altura.

Área da base = comprimento × largura = 2,5 cm × 2,5 cm = 6,25 cmdois

O volume é, portanto, 1/3 x 6,25 × 10 = 20,83 cm3

A esfera é, portanto, maior em volume do que a pirâmide.



Calculando o Volume de Sólidos Irregulares

Assim como você pode calcular a área de formas bidimensionais irregulares dividindo-as em formas regulares, você pode fazer o mesmo para calcular o volume de sólidos irregulares. Apenas divida o sólido em partes menores até que você alcance apenas sólidos com os quais possa trabalhar facilmente.


Exemplo trabalhado

Calcule o volume de um cilindro d'água com altura total de 1m, diâmetro de 40cm e cuja seção superior seja semiesférica.
Sólido irregular. Base circular com diâmetro de 40cm e altura total de 1m. A seção superior é semi-esférica.

Você primeiro divide a forma em duas seções, um cilindro e uma semiesfera (meia esfera).

O volume de uma esfera é 4/3 × π × raio3. Neste exemplo, o raio é de 20 cm (metade do diâmetro). Como o topo é semiesférico, seu volume será a metade de uma esfera inteira. O volume desta seção da forma, portanto:

0,5 × 4/3 × π × 203 = 16.755,16 cm3

O volume de um cilindro é a área da base × altura. Aqui, a altura do cilindro é a altura total menos o raio da esfera, que é 1m - 20cm = 80cm. A área da base é πrdois.

O volume da seção cilíndrica desta forma é, portanto:

80 × π × 20 × 20 = 100.530,96 cm3

O volume total deste recipiente de água é, portanto:
100.530,96 + 16.755,16 = 117.286,12cm3.

Este é um número bastante grande, então você pode preferir convertê-lo para 117,19 litros dividindo por 1.000 (uma vez que existem 1000 cm3em um litro). No entanto, é bastante correto expressá-lo como cm3uma vez que o problema não pede que a resposta seja expressa em qualquer forma particular.



Para concluir…

Usando esses princípios, se necessário, você agora deve ser capaz de calcular o volume de quase tudo em sua vida, seja uma caixa de embalagem, um quarto ou um cilindro de água.

Continua a:
Formas tridimensionais
Folha de Referência de Área, Área de Superfície e Volume