Formas curvas

Veja também: Polígonos

Círculos, elipses, parábolas e hipérboles

Nossa página em Polígonos abrange formas feitas com linhas retas, também conhecidas como 'formas planas'. Esta página explica mais sobre formas com curvas, especialmente as bidimensionais.

As formas curvas bidimensionais incluem círculos, elipses, parábolas e hipérboles, bem como arcos, setores e segmentos. Formas curvas tridimensionais, incluindo esferas, cilindros e cones, são abordadas em nossa página em Formas tridimensionais .

Formas curvas bidimensionais

Propriedades de um círculo. Circunferência, diâmetro e raio.

Círculos

Provavelmente, a forma curva bidimensional mais comum é um círculo.



Para trabalhar com círculos (e outras formas curvas) na geometria, é importante compreender as propriedades principais de um círculo:

a chave para uma comunicação eficaz é ______.
  • Uma linha reta cruzando o centro de um círculo é o diâmetro .

  • Metade do diâmetro é o raio .

  • A linha ao redor da borda de um círculo é o circunferência .

Qualquer ponto na circunferência de um círculo está exatamente à mesma distância do centro do círculo que qualquer outro ponto na circunferência.

Apresentando π (pi)


π ou pi é uma letra grega. Na matemática, é usado para representar uma constante particular, que também é um número irracional ou infinito (veja nossa página em Números Especiais para mais).

π tem um valor de 3,142 (embora, como é infinito, esta é uma aproximação de seu valor exato).


π é importante porque é usado para calcular a circunferência e a área de um círculo.

A circunferência de um círculo é igual a π x diâmetro ou 2 × π × raio (abreviado para 2πr).

A área de um círculo é igual a π × raiodois. Esta fórmula geralmente é abreviada para πrdois

Para mais informações sobre a área, consulte nossa página Calculando Área .

Setores e segmentos

Setores e segmentos são 'fatias' de um círculo.

Setores têm o formato de uma fatia de pizza, com uma borda curva e cada lado reto do mesmo comprimento que o raio do círculo, ou pizza, de onde foi cortada. Os gráficos de pizza são compostos de vários setores relacionados em tamanho aos dados que mostram.

Um setor pode ter qualquer tamanho, no entanto, um setor que é meio círculo (180 °) é chamado de semicírculo , enquanto um quarto de setor de círculo (90 °) é chamado de quadrante .

PARA segmento é a parte curva de um setor, a parte que resta se você remover o triângulo de um setor. Os segmentos são compostos por duas linhas. O arco (uma seção da circunferência do círculo - veja abaixo) e um acorde - a linha reta que une as duas extremidades do arco.

Setores de círculo incluindo semicírculos (semicírculos) e quadrantes (círculos de um quarto). Segmentos de círculo, corda e arco.

Um setor é uma fração de um círculo e, portanto, sua área é uma fração da área de todo o círculo. Para calcular a área de um setor, você precisa saber seu ângulo central, θ e o raio.

A área de um setor pode então ser calculada usando a seguinte fórmula:

πrdois× (θ ÷ 360)

Arcos

Comprimento de um arco de círculo. 2πr × (θ ÷ 360)

Uma seção da circunferência de um círculo é chamada de arco .

Para calcular o comprimento de um arco entre os pontos A e B, você precisa saber o ângulo no centro entre os pontos A e B. θ (theta) é o símbolo usado para representar este ângulo subtendido por A e B. Em nosso exemplo, estamos usando graus para θ, mas também é possível usar radianos.

Você também precisa saber o raio (r) do arco.

Como existem 360 ° em todo o círculo, o comprimento do arco é igual ao ângulo central (θ) dividido por 360, então multiplicado pela circunferência de todo o círculo (2πr).

2πr × (θ ÷ 360)

Exemplo:

r = 10cm, θ = 88 °, π = 3,14

como você calcula a área de um quadrado

Comprimento do arco = 2 x 3,14 x 10 x (88 ÷ 360) = 62,8 × 0,24 = 15,07cm .

Graus ou radianos?


A unidade de medida mais comumente usada para ângulos é graus, mas você também pode encontrar cálculos em que o ângulo é medido em radianos. Esta é a unidade SI padrão para os ângulos de medição e, para obter mais informações sobre radianos, consulte nosso Introdução aos Ângulos página. Para obter mais informações sobre o sistema de medição SI, consulte nossa página em Sistemas de Medição .

2π radianos é igual a 360 °, então a fórmula para o comprimento do arco quando θ está em radianos é simplesmente rθ.


Elipses

Uma elipse é uma curva em um plano (ou superfície plana) em torno de dois pontos focais. Uma linha reta desenhada de um ponto focal a qualquer ponto da curva e depois ao outro ponto focal tem o mesmo comprimento para todos os pontos da curva.

As elipses são muito importantes na astronomia e na física, pois cada planeta tem uma órbita elíptica com o sol como um dos pontos focais.

Um círculo é uma forma específica de elipse, onde os dois pontos focais estão no mesmo lugar (no centro do círculo). As elipses também podem ser descritas como 'ovais', mas a palavra 'oval' é muito menos precisa em matemática e significa simplesmente 'em forma de ovo'.

Propriedades de uma elipse. O diagrama inclui eixos maiores e menores com vértices e pontos focais.

Propriedades de uma elipse:

Uma elipse possui dois eixos principais e é simétrica em torno deles.

O eixo mais longo é chamado de eixo principal ; o eixo mais curto é o eixo menor .

Os quatro pontos onde os eixos cruzam a circunferência são chamados de vértices (vértice singular). Os dois pontos onde o eixo menor cruza a circunferência são chamados de co-vértices .

Os dois pontos focais (ou focos, às vezes chamados de locus ou loci) estão ambos no eixo principal e a distâncias iguais do centro.

A distância de um ponto focal a qualquer ponto na circunferência e de volta ao outro ponto focal (a linha pontilhada azul em nosso diagrama) é igual ao comprimento entre os vértices no eixo principal.

A extensão em que uma elipse é alongada é definida por sua excentricidade . A fórmula para calcular a excentricidade é:

Excentricidade = distância do centro ao ponto focal
distância do centro ao vértice no eixo principal

A excentricidade de um círculo é zero, porque os pontos focais estão exatamente no mesmo lugar (o centro) (também dizemos que eles estão coincidente ) A distância do centro ao ponto focal é, portanto, zero. A excentricidade aumenta à medida que a elipse se torna mais longa, mas é sempre menor que 1. Quando a distância do centro ao ponto focal é igual à distância do centro ao vértice, então a elipse tornou-se uma linha reta e sua excentricidade é igual a 1.

A área de uma elipse é calculada como π (½ x eixo menor) (½ x eixo maior).


Parábolas, hipérboles e a relação entre formas curvas

Parábolas e hipérboles são mais formas curvas, mas são mais complicadas de definir do que círculos e elipses. Eles estão intimamente relacionados entre si e com círculos e elipses, porque são todos seções cônicas , isto é, formas que são formadas pelo corte de um cone com um plano plano.

As características das seções cônicas foram estudadas por milênios e foram um assunto de interesse para os matemáticos gregos antigos, como Euclides e Arquimedes. O diagrama abaixo mostra um cone duplo, como um cronômetro de areia.

  • Se o plano cortar o cone em um ângulo paralelo à base do cone (ou seja, perpendicular ao seu eixo vertical), então um círculo é formado (canto superior esquerdo).

  • Se o avião cortar o cone paralelo ao lado do cone , então uma antena parabólica é formado (centro).

  • Se o avião cortar o cone em um ângulo entre esses dois, de modo que mantenha contato com as laterais do cone em todos os locais, então um elipse é formado (canto inferior esquerdo).

    nomes de diferentes tipos de gráficos
  • Se o plano cortar ambos os cones em um ângulo mais vertical, a seção é um hipérbole .

Parábolas e hipérboles são curvas simétricas com um único eixo de simetria e um vértice (ponto mais baixo da curva em forma de u).

Todas as parábolas têm a mesma forma característica, independentemente do seu tamanho. Conforme você se afasta mais e mais do vértice em direção ao infinito, a parábola muda de uma forma de tigela para uma forma de grampo de cabelo, com seus braços se tornando cada vez mais paralelos.

Ao contrário das parábolas, hipérboles podem ter formas diferentes , porque o ângulo do corte pode variar amplamente. Ambas as parábolas e hipérboles são infinitas, mas os braços de uma hipérbole nunca se tornam paralelos.

Seções cônicas. Como um cone pode ser cortado para produzir um círculo, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.

Aplicações do mundo real de seções cônicas


Existem muitas aplicações de seções cônicas no mundo real.

  • Eles são usados ​​em lentes de telescópios e os refletores em faróis ou holofotes para criar um feixe de luz.
  • A matemática complexa associada a essas formas é vital no cálculo das órbitas dos satélites.
  • Na engenharia, os cabos da ponte Golden Gate têm a forma de parábolas perfeitas e os aerofólios nas aeronaves são baseados em elipses.
  • Nos esportes, o arco seguido por uma bola de futebol, beisebol ou críquete também é uma parábola, portanto, compreender as seções cônicas é vital para analisar o desempenho do jogador - cada vez mais importante com o dinheiro investido nos esportes profissionais.
  • A forma orgânica dessas formas também as empresta para uso nas artes e na arquitetura. Os exemplos incluem o Cybertecture Egg em Mumbai, o Gateway Arch em Missouri e o trabalho de vários artistas escultóricos, como as Elipses Torqued de Richard Serra no museu Guggenheim.

Habilidades que você precisa?

Os círculos fazem parte da geometria básica e você realmente precisa saber como calcular suas propriedades básicas.

No entanto, é provavelmente improvável que você precise fazer mais do que estar ciente da existência das outras formas, a menos que deseje entrar seriamente em engenharia, física ou astronomia.

Dito isso, você pode achar que gosta de saber que as curvas côncavas de uma torre de resfriamento de uma estação de energia, ou a luz de uma lâmpada de halogênio apontando para baixo, têm a forma de uma hipérbole.

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