Introdução à geometria: pontos, linhas, planos e dimensões

Veja também: Calculando Área

Quando você começa a estudar geometria, é importante conhecer e compreender alguns conceitos básicos.

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Esta página o ajudará a entender o conceito de dimensões na geometria e descobrir se você está trabalhando em uma, duas ou três dimensões.

Também explica parte da terminologia básica e indica outras páginas para obter mais informações.



Esta página cobre pontos, linhas e planos.

Outras páginas desta série explicam sobre ângulos e formas, incluindo polígonos , círculos e outras formas curvas , e formas tridimensionais .

O que é geometria?


Geometria , n. aquela parte da matemática que trata as propriedades de pontos, linhas, superfícies e sólidos ...


Chambers English Dictionary, edição de 1989

Geometria vem do grego que significa 'medição da terra' e é o estudo visual de formas, tamanhos e padrões, e como eles se encaixam no espaço. Você descobrirá que nossas páginas de geometria contêm muitos diagramas para ajudá-lo a entender o assunto.

Quando você se depara com um problema envolvendo geometria, pode ser muito útil desenhar um diagrama.


Trabalhando em Dimensões Diferentes

Não, não o continuum espaço-tempo! Estamos falando de formas que estão em uma, duas e três dimensões.

Ou seja, objetos que possuem comprimento (uma dimensão), comprimento e largura (duas dimensões) e comprimento, largura e profundidade ou altura (três dimensões).

Dimensões de objetos geométricos. Ponto - sem dimensões. Linha - uma dimensão. Plano - duas dimensões. Sólido - três dimensões.

Pontos: um caso especial: sem dimensões

PARA ponto é um único local no espaço. Geralmente é representado por um ponto na página, mas na verdade não tem tamanho ou forma real.

Você não pode descrever um ponto em termos de comprimento, largura ou altura, portanto, é não dimensional . No entanto, um ponto pode ser descrito por coordenadas. As coordenadas não definem nada sobre o ponto além de sua posição no espaço, em relação a um ponto de referência de coordenadas conhecidas. Você encontrará coordenadas de pontos em muitas aplicações, como quando você está desenho de gráficos , ou lendo mapas.

Quase tudo na geometria começa com um ponto, seja uma linha ou uma forma tridimensional complicada.

Linhas: uma dimensão

PARA linha é a distância mais curta entre dois pontos. Tem comprimento, mas não tem largura, o que o torna unidimensional.

Sempre que duas ou mais linhas se encontram, ou se cruzam, há um ponto, e as duas linhas compartilham um ponto:

Cruzando linhas e um ponto

Segmentos de linha e raios

Existem dois tipos de linhas: aquelas que têm um ponto inicial e final definidos e aquelas que continuam para sempre.

As linhas que se movem entre dois pontos são chamadas Segmentos de linha . Eles começam em um ponto específico e vão para outro, o ponto final. Eles são desenhados como uma linha entre dois pontos, como você provavelmente esperaria.

Segmento de linha.

O segundo tipo de linha é chamado de raio , e estes duram para sempre. Eles geralmente são desenhados como uma linha começando de um ponto com uma seta na outra extremidade:

Ray - Uma linha que vai até o infinito.

Linhas paralelas e perpendiculares

Existem dois tipos de linhas que são particularmente interessantes e / ou úteis em matemática. Linhas paralelas nunca se encontram ou se cruzam. Eles simplesmente seguem para sempre lado a lado, um pouco como linhas de trem. A convenção para mostrar que as linhas são paralelas em um diagrama é adicionar 'penas', que se parecem com pontas de flechas.

Linhas paralelas

Linhas perpendiculares cruzam em um ângulo reto, 90 °:

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Linhas perpendiculares criam um ângulo reto (90 °)

Planos e formas bidimensionais

Agora que lidamos com uma dimensão, é hora de passar para duas.

PARA plano é uma superfície plana, também conhecida como bidimensional. É tecnicamente ilimitado, o que significa que continua para sempre em qualquer direção e, como tal, é impossível desenhar em uma página.

Um dos principais elementos da geometria é em quantas dimensões você está trabalhando em um determinado momento. Se você estiver trabalhando em um único plano, é um (comprimento) ou dois (comprimento e largura). Com mais de um plano, deve ser tridimensional, pois altura / profundidade também está envolvida.

As formas bidimensionais incluem polígonos como quadrados, retângulos e triângulos, que possuem linhas retas e um ponto em cada canto.

Polígonos bidimensionais, quadrado, retângulo e triângulo.
Há mais sobre polígonos em nossa página em Polígonos . Outras formas bidimensionais incluem círculos e qualquer outra forma que inclua uma curva. Você pode descobrir mais sobre isso em nossa página, Formas curvas .

Três dimensões: poliedros e formas curvas

Finalmente, também existem formas tridimensionais , como cubos, esferas, pirâmides e cilindros.

o que deve ser incluído em uma declaração pessoal

Para saber mais sobre isso, consulte nossa página em Formas tridimensionais .


Sinais, símbolos e terminologia

Símbolos geométricos. Graus °. Marcas e ângulos de verificação.

A forma ilustrada aqui é um pentágono irregular, um polígono de cinco lados com diferentes ângulos internos e comprimentos de linha (veja nossa página em Polígonos para saber mais sobre essas formas).

Graus ° são uma medida de rotação e definem o tamanho do ângulo entre os dois lados.

Ângulos são comumente marcados em geometria usando um segmento de um círculo (um arco), a menos que eles sejam um ângulo reto quando eles são 'quadrados'. As marcas de ângulo são indicadas em verde no exemplo aqui. Veja nossa página em Ângulos Para maiores informações.

Marcas de escala (mostrado em laranja) indicam os lados de uma forma que têm comprimento igual (lados de uma forma que são congruente ou aquela correspondência). As linhas simples mostram que as duas linhas verticais têm o mesmo comprimento, enquanto as linhas duplas mostram que as duas linhas diagonais têm o mesmo comprimento. A linha horizontal inferior neste exemplo tem um comprimento diferente das outras 4 linhas e, portanto, não está marcada. As marcas de seleção também podem ser chamadas de ‘ marcas de hachura '.

Um vértice é o ponto onde as linhas se encontram (as linhas também são chamadas de raios ou arestas). O plural de vértices é vértices. No exemplo, há cinco vértices rotulados A, B, C, D e E. Nomear vértices com letras é comum na geometria.

Em uma forma fechada, como em nosso exemplo, a convenção matemática afirma que as letras devem sempre estar em ordem no sentido horário ou anti-horário. Nossa forma pode ser descrita como ‘ABCDE’, mas seria incorreto rotular os vértices de forma que a forma fosse ‘ADBEC’, por exemplo. Isso pode parecer sem importância, mas é crucial em algumas situações complexas para evitar confusão.


O símbolo de ângulo ‘∠’ é usado como um símbolo abreviado em geometria ao descrever um ângulo. A expressão ∠ABC é uma abreviatura para descrever o ângulo entre os pontos A e C no ponto B. A letra do meio em tais expressões é sempre o vértice do ângulo que você está descrevendo - a ordem dos lados não é importante. ∠ABC é o mesmo que ∠CBA, e ambos descrevem o vértice B neste exemplo.

Se você quiser escrever o ângulo medido no ponto B de forma abreviada, você deve usar:

m∠ABC = 128 ° (m significa simplesmente 'medir')

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ou

m∠CBA = 128 °

Em nosso exemplo, também podemos dizer:

m∠EAB = 90 °

m∠BCD = 104 °


Por que esses conceitos são importantes?

Pontos, linhas e planos sustentam quase todos os outros conceitos de geometria. Os ângulos são formados entre duas linhas a partir de um ponto compartilhado. As formas, bidimensionais ou tridimensionais, consistem em linhas que conectam pontos. Os planos são importantes porque as formas bidimensionais têm apenas um plano; os tridimensionais têm dois ou mais.

Em outras palavras, você realmente precisa entender as ideias desta página antes de passar para qualquer outra área da geometria.

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