Propriedades dos polígonos

Veja também: Calculando Área

Esta página examina as propriedades de polígonos bidimensionais ou 'planos'. Um polígono é qualquer forma composta de linhas retas que podem ser desenhadas em uma superfície plana, como um pedaço de papel. Essas formas incluem quadrados, retângulos, triângulos e pentágonos, mas não círculos ou qualquer outra forma que inclua uma curva.

Compreender as formas é importante em matemática. Certamente você terá que aprender sobre formas na escola, mas entender as propriedades das formas tem muitas aplicações práticas em situações profissionais e da vida real.



Muitos profissionais precisam entender as propriedades das formas, incluindo engenheiros, arquitetos, artistas, corretores imobiliários, fazendeiros e operários da construção.



Você pode muito bem precisar entender as formas ao fazer melhorias em sua casa e DIY, ao jardinar e até mesmo ao planejar uma festa.

Ao trabalhar com polígonos, as principais propriedades importantes são:



  • O número de lados da forma.
  • O ângulos entre os lados da forma.
  • O comprimento dos lados da forma.

Número de Lados

Os polígonos são geralmente definidos pelo número de lados que possuem.

Polígonos de três lados: triângulos

Um polígono de três lados é um triângulo. Existem vários tipos diferentes de triângulo (consulte o diagrama), incluindo:

  • Equilátero - todos os lados têm comprimentos iguais e todos os ângulos internos são 60 °.
  • Isósceles - tem dois lados iguais, com o terceiro de comprimento diferente. Dois dos ângulos internos são iguais.
  • Escaleno - todos os três lados e todos os três ângulos internos são diferentes.

Os triângulos também podem ser descritos em termos de seus ângulos internos (veja nossa página em Ângulos para saber mais sobre como nomear ângulos). Os ângulos internos de um triângulo sempre somam 180 °.



Um triângulo com apenas agudo ângulos internos são chamados de triângulo agudo (ou de ângulo agudo). Um com um obtuso ângulo e dois ângulos agudos é chamado obtuso (obtuso-angular), e um com um ângulo certo é conhecido como ângulo reto.

Cada um deles vai Além disso seja qualquer um equilátero, isósceles ou escaleno .

Tipos de triângulo. Equilateral, Agudo, Ângulo Reto, Obtuso. Isósceles e escalenos.

Polígonos de quatro lados - quadriláteros

Os polígonos de quatro lados são geralmente chamados de quadriláteros, quadriláteros ou às vezes tetrágonos. Em geometria, o termo quadrilátero é comumente usado. O termo quadrilátero é frequentemente usado para descrever um espaço externo fechado retangular, por exemplo, 'os caloiros montados no quadrilátero da faculdade'. O termo tetrágono é consistente com polígono, pentágono, etc. Você pode encontrá-lo ocasionalmente, mas não é comumente usado na prática.

A família dos quadriláteros inclui o quadrado, retângulo, losango e outros paralelogramos, trapézio / trapézio e pipa.

Os ângulos internos de todos os quadriláteros somam 360 °.

Quadriláteros. Quatro formas de lados, incluindo quadrado, retângulo, paralelogramo, losango, trapézio e pipa.
  • Quadrado : Quatro lados de igual comprimento, quatro ângulos retos internos.

  • Retângulo : Quatro ângulos retos internos, lados opostos de igual comprimento.

  • Paralelogramo : Os lados opostos são paralelos, os lados opostos são iguais em comprimento e os ângulos opostos são iguais.

  • Losango : Um tipo especial de paralelogramo no qual todos os quatro lados têm o mesmo comprimento, como um quadrado comprimido lateralmente.

  • Trapézio (ou trapézio) : Dois lados são paralelos, mas os outros dois lados não são. Comprimentos e ângulos laterais não são iguais.

  • Trapézio Isósceles (ou trapézio) : Dois lados são paralelos e os ângulos da base são iguais, o que significa que os lados não paralelos também têm comprimento igual.

  • Pipa : Dois pares de lados adjacentes têm o mesmo comprimento; a forma tem um eixo de simetria.

  • Quadrilátero Irregular : uma forma de quatro lados em que nenhum lado é igual em comprimento e nenhum ângulo interno é igual. Todos os ângulos internos ainda somam 360 °, como com todos os outros quadriláteros regulares.



Mais de quatro lados

Uma forma de cinco lados é chamada de pentágono.

Uma forma de seis lados é um hexágono, uma forma de sete lados é um heptágono, enquanto um octógono tem oito lados ...

Nomes de polígonos


Os nomes dos polígonos são derivados dos prefixos dos números da Grécia Antiga. O prefixo numérico grego ocorre em muitos nomes de objetos e conceitos do dia-a-dia. Às vezes, isso pode ser útil para ajudá-lo a lembrar quantos lados um polígono tem. Por exemplo:

  • Um polvo tem oito pernas - um octógono tem oito lados.
  • Uma década é dez anos - um decágono tem dez lados.
  • O pentatlo moderno tem cinco eventos - um pentágono tem cinco lados.
  • Um heptatlo olímpico tem sete eventos - um heptágono tem sete lados.

O prefixo 'poli' significa simplesmente 'múltiplos', então um polígono é uma forma com vários lados, da mesma forma que 'poligamia' significa vários cônjuges.


Existem nomes para muitos tipos diferentes de polígonos e, normalmente, o número de lados é mais importante do que o nome da forma.

Existem dois tipos principais de polígono - regular e irregular.

PARA polígono regular tem lados de comprimento igual com ângulos iguais entre cada lado. Qualquer outro polígono é um polígono irregular , que por definição tem lados de comprimento desiguais e ângulos desiguais entre os lados.

Círculos e formas que incluem curvas não são polígonos - um polígono, por definição, é feito de linhas retas. Veja nossas páginas em círculos e formas curvas para mais.

Identificação de polígonos. Polígonos regulares, irregulares, côncavos, convexos e complexos.

Ângulos entre os lados

Os ângulos entre os lados das formas são importantes ao definir e trabalhar com polígonos. Veja nossa página em Ângulos para saber mais sobre como medir ângulos.

Existe uma fórmula útil para descobrir o total (ou soma) dos ângulos internos de qualquer polígono, ou seja:

(número de lados - 2) × 180 °

exemplos de ser assertivo em situações

Exemplo:

Para um pentágono (uma forma de cinco lados), o cálculo seria:

5 - 2 = 3

3 × 180 = 540 °.

A soma dos ângulos internos para qualquer pentágono (não complexo) é 540 °.

seja grato pelas pequenas coisas

Além disso, se a forma for um polígono regular (todos os ângulos e comprimentos dos lados são iguais), então você pode simplesmente dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados para encontrar cada ângulo interno.

540 ÷ 5 = 108 °.

PARA regular o pentágono, portanto, tem cinco ângulos, cada um igual a 108 °.


O comprimento das laterais

Assim como o número de lados e os ângulos entre os lados, o comprimento de cada lado das formas também é importante.

O comprimento dos lados de uma forma plana permite que você calcule a forma perímetro (a distância ao redor da forma) e área (a quantidade de espaço dentro da forma).

Comprimento dos lados

Se sua forma for um polígono regular (como um quadrado no exemplo acima), então é necessário medir apenas um lado, pois, por definição, os outros lados de um polígono regular têm o mesmo comprimento. É comum usar marcas de escala para mostrar que todos os lados têm o mesmo comprimento.

No exemplo do retângulo, precisamos medir dois lados - os dois lados não medidos são iguais aos dois lados medidos.

É comum que algumas dimensões não sejam mostradas para formas mais complexas. Em tais casos, as dimensões ausentes podem ser calculadas.

Encontrando os comprimentos de lados que faltam.

No exemplo acima, faltam dois comprimentos.

O comprimento horizontal ausente pode ser calculado. Pegue o comprimento conhecido horizontal mais curto do comprimento conhecido horizontal mais longo.

9m - 5,5m = 3,5m.

O mesmo princípio pode ser usado para calcular o comprimento vertical ausente. Aquilo é:

3m - 1m = 2m.


Reunindo todas as informações: calculando a área dos polígonos

O polígono mais simples e básico para fins de cálculo de área é o quadrilátero. Para obter a área, basta multiplicar o comprimento pela altura vertical.

Para paralelogramos, observe que a altura vertical é NÃO o comprimento do lado inclinado, mas a distância vertical entre as duas linhas horizontais.

Isso ocorre porque um paralelogramo é essencialmente um retângulo com um triângulo cortado em uma extremidade e colado na outra:

Retângulo e Losango

Você pode ver que se remover o triângulo azul esquerdo e colocá-lo na outra extremidade, o retângulo se tornará um paralelogramo.

A área é o comprimento (a linha horizontal superior) multiplicado pela altura, a distância vertical entre as duas linhas horizontais.

Para trabalhar a área de um triângulo , você multiplica o comprimento pela altura vertical (ou seja, a altura vertical da linha inferior ao ponto superior) e divide-o pela metade. Isso ocorre essencialmente porque um triângulo é meio retângulo.

Para calcular a área de qualquer polígono regular , a maneira mais fácil é dividi-lo em triângulos e usar a fórmula para a área de um triângulo.

Hexágono dividido em triângulos para calcular a área.

Então, para um hexágono, por exemplo:

Você pode ver no diagrama que existem seis triângulos.

A área é:

Altura (linha vermelha) × comprimento do lado (linha azul) × 0,5 × 6 (porque existem seis triângulos).

Você também pode calcular a área de qualquer polígono regular usando trigonometria, mas isso é um pouco mais complicado.

Veja nossa pagina Calculando Área para mais, incluindo exemplos.

Você também pode calcular a área de qualquer polígono regular usando trigonometria, mas isso é um pouco mais complicado. Veja nosso Introdução à trigonometria página para mais informações.

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