Equações Simultâneas e Quadráticas

Continuação de: Introdução à Álgebra

Nossa pagina Introdução à Álgebra explica como resolver equações simples com álgebra básica.

Esta página discute equações mais complexas, incluindo aquelas envolvendo frações, e dois problemas específicos que você pode encontrar: equações simultâneas e equações quadráticas.

Mais importante ainda, deixa claro que essas equações, como outras, estão em conformidade com as regras e que você ainda pode manipulá-las, desde que se lembre de fazer a mesma coisa em ambos os lados da equação.



Parênteses em álgebra

Em equações algébricas, você frequentemente encontrará termos entre colchetes (parênteses). Para resolver a equação, você pode precisar expandir os colchetes. Isso significa que precisamos trabalhar a expressão e remover os colchetes de forma lógica, de acordo com algumas regras.

Se você tiver apenas um único conjunto de colchetes em sua equação, o processo é direto. Por exemplo:

$$ 4 (x - 2) = 18 $$

Nesse caso, tudo dentro dos colchetes no lado esquerdo da equação é multiplicado por 4. Primeiro, expanda os colchetes termo por termo:

$$ 4x - 8 = 18 $$

Agora você pode resolver a equação para (x ). Em seguida, adicione 8 a cada lado:

$$ 4x = 26 $$

Finalmente, divida cada lado por 4:

$$ x = 6,5 $$

Se sua equação tiver dois conjuntos de colchetes (ou mais), que precisam ser multiplicados juntos, o processo é mais complicado, mas segue um conjunto lógico de regras.

Por exemplo, expanda a expressão:

$$ (2x + 5) (x + 4) = 0 $$

No lado esquerdo da equação, precisamos multiplicar (2 (x ) + 5) por ( (x ) + 4). Cada conjunto de colchetes contém mais de um termo. Não é simplesmente o caso de multiplicar um conjunto de colchetes por um coeficiente , como no exemplo anterior, onde você multiplicou todo o colchete por 4.

Nesse caso, você precisa multiplicar cada termo do primeiro colchete por cada termo do segundo colchete e somá-los todos juntos, ou seja, multiplicar (x ) por (x ), (x ) por 4 , então (x ) por 5, então 4 por 5. Parece bastante complicado, então você pode usar um método conhecido como 'FRUSTRAR' ajudar.

Método FOIL para resolver equações. Primeiro, Fora, Dentro, Último.

FOIL significa F primeiro OU útero eu homens eu ast.

PRIMEIRO: 2 (x ) × (x ) = 2 (x )dois

FORA: 2 (x ) × 4 = 8 (x )

DENTRO: 5 × (x ) = 5 (x )

ÚLTIMO: 5 × 4 = 20

A próxima etapa é somar:

2 (x )dois+ 8 (x ) + 5 (x ) + 20 é o mesmo que 2 (x )dois+ 13 (x ) + 20.

Portanto, a equação original (2 (x ) + 5) ( (x ) + 4) = 0 torna-se:

$$ 2x ^ 2 + 13x + 20 = 0 $$

Este tipo de equação é conhecido como Equação quadrática . Há mais sobre isso abaixo.

Equações com frações

Equações com frações parecem um pouco assustadoras, mas existe um truque simples para torná-las mais fáceis de resolver.

Multiplicação cruzada envolve remover as frações multiplicando ambos os lados por cada denominador, por sua vez. Para mais informações sobre como trabalhar com frações, consulte nossa página em Frações .

Exemplo Trabalhado


$$ frac {2 + x} {3} = frac {9 + x} {5} $$

Para remover as frações, multiplique ambos os lados da equação por cada denominador (3 e 5) por vez.
Comece multiplicando cada lado por 3:

uma boa estratégia nutricional para lidar com o estresse é
$$ frac {3 (2 + x)} {3} = frac {3 (9 + x)} {5} $$

À esquerda, os dois 3s se cancelam, deixando 2 + (x ).
À direita, expanda os colchetes no numerador para fazer 27 + 3 (x )

$$ 2 + x = frac {27 + 3x} {5} $$

Agora multiplique os dois lados por 5. Novamente, os dois 5s se cancelarão à direita e você terminará com:

$$ 5 (2 + x) = 27 + 3x $$ $$ 10 + 5x = 27 + 3x $$

Reorganize a equação para que os termos que contêm (x ) fiquem à esquerda e os termos que contêm apenas números fiquem à direita. Primeiro, subtraia 10 de cada lado:

$$ 5x = 17 + 3x $$

Em seguida, subtraia 3 (x ) de cada lado para obter todos os valores (x ) à esquerda, e você acaba com:

$$ 2x = 17 $$

Por fim, dividir os dois lados por 2 fornece o valor de (x ):

$$ x = 8,5 $$

Observe que (x ) nem sempre precisa ser um número inteiro.

como faço para calcular a porcentagem de um número


Equações simultâneas

Até agora, todos os exemplos continham apenas uma variável 'desconhecida', (x ). Podemos resolver essas equações usando álgebra para encontrar o valor de (x ). Se você tiver uma incógnita, precisará apenas de uma equação para resolver e obter a resposta.

No entanto, o que acontece se você tiver uma equação como (y ) = 4 (x ) + 5, onde há duas incógnitas , (x ) e (y )?

Você pode até encontrar uma equação mais complexa na qual você tem três incógnitas, (x ), (y ) e (z ).

Para resolver isso, a regra é que você precisa do mesmo número de equações que tem incógnitas. Todas as equações devem ser verdadeiras para todas as incógnitas. Isso significa que você precisa de duas equações para duas incógnitas, três equações para três incógnitas e assim por diante.

Equações simultâneas são um conjunto de duas equações, ambas envolvendo as mesmas variáveis ​​desconhecidas, ambas verdadeiras. Eles são referidos como simultâneo porque eles são resolvidos juntos.

As equações simultâneas às vezes são indicadas por uma chave longa para vinculá-las.

O método para resolver equações simultâneas com as variáveis ​​ (x ) e (y ) é:

  • Primeiro reorganize uma equação para obter uma expressão ou um valor para (x ). A equação reorganizada pode ser (x ) = um número, ou pode ser uma expressão onde (x ) = uma função de (y ) (ou seja, (y ) ainda existe como um desconhecido na equação ) Você pode ver isso escrito como (x ) = ƒ ( (y )), o que significa simplesmente ' (x ) é uma função de (y )'.

  • Depois de ter um valor ou uma expressão para (x ), você pode substituí-lo na outra equação para encontrar o valor de (y ). Esta nova equação terá apenas uma incógnita, (y ).

  • Finalmente, se sua resposta (x ) =? da etapa (1) contém ' (y )', então você pode substituir seu valor de (y ) da etapa (2) em sua expressão para (x ), para encontrar o valor de (x )

Exemplo trabalhado 1: Quando x pode ser resolvido como um valor na Etapa 1.

$$ biggl { begin {eqnarray} 2x = 6 quad ; ; ; \ y = 4x + 5 end {eqnarray} $$

Se 2 (x ) = 6, então ( boldsymbol {x} ) = 3 .

Substituindo (x ) por 3 na segunda equação, você pode resolvê-lo para descobrir o que é (y ).

$$ y = (4 vezes 3) + 5 = 17. $$ $$ boldsymbol {y = 17} $$


Exemplo trabalhado 2: Quando a Etapa 1 fornece (x = ƒ (y) )

$$ biggl { begin {eqnarray} x - y = 1 quad ; ; \ 2x + 3y = 27 end {eqnarray} $$

Passo 1 : If (x ) & minus; (y ) = 1, então (x ) = 1 + (y )

Passo 2 : Substituindo isso na segunda equação resulta 2 (1 + (y )) + 3 (y ) = 27

Expandir os colchetes resulta 2 + 2 (y ) + 3 (y ) = 27

Então 2 + 5 (y ) = 27

Então 5 (y ) = 25, dando a solução ( boldsymbol {y} ) = 5.

etapa 3 : Sabemos que (x ) - (y ) = 1, portanto ( boldsymbol {x} ) = 6.


Equações quadráticas

Uma equação que assume a forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) é chamada de Equação quadrática .

( boldsymbol {a} ), ( boldsymbol {b} ) e ( boldsymbol {c} ) são todos números, e em qualquer equação podem ser todos iguais ou diferentes. Eles também podem ser negativos ou positivos.

Exemplos de equações quadráticas são:

  1. ( boldsymbol {2x ^ 2 + 5x + 10 = 0} ). Nesta equação, (a ) = 2, (b ) = 5 e (c ) = 10.

  2. ( boldsymbol {3x ^ 2 - 3x + 9 = 0} ). Nesta equação, (a ) = 3, (b ) = -3 e (c ) = 9.

  3. ( boldsymbol {52x ^ 2 + x} ) & minus; ( boldsymbol {45 = 0} ). Nesta equação, (a ) = 52, (b ) = 1 e (c ) = & minus; 45.

Curvas parabólicas e equações quadráticas


Equações quadráticas são muito importantes em matemática e ciências. Eles são a 'descrição' matemática de uma curva parabólica (parábola). Para mais informações sobre parábolas e outras formas curvas conhecidas como seções cônicas, consulte nossa página em círculos, elipses, parábolas e hipérboles . Os valores de (a ), (b ) e (c ) na equação quadrática descrevem a forma da curva e onde ela está posicionada dentro de um conjunto de coordenadas cartesianas (eixos xey). Para mais informações, consulte nossa página em Coordenadas cartesianas .

Uma parábola desenhada a partir de uma equação quadrática onde (a ) = 1, (b ) = −4 e (c ) = 5 se parece com isto:

Uma parábola extraída de uma equação quadrática onde a = 1, b = −4 e c = 5.

Existem várias maneiras de resolver essas equações:

1. Por fatoração

Na matemática, fatores são coisas que se multiplicam juntas. Fatoração é um processo usado para criar dois fatores da expressão quadrática que pode ser multiplicada juntos. Esses fatores são conjuntos de colchetes com uma expressão linear simples contendo (x ) dentro de cada um.

Você faz uma equação quadrática multiplicando duas expressões entre colchetes ( (x ) + um número) ( (x ) + outro número). Isso significa que cada um isso tem uma solução pode ser escrito neste formato de dois colchetes.

Este é o oposto do método FOIL para expandir colchetes descrito acima. Expandir dois conjuntos de colchetes multiplicados dá:

$$ boldsymbol {(x + m) (x + n) = x ^ 2 + (m + n) x + mn} $$

Isso significa que quando você tem uma equação na forma (x ^ 2 + bx + c ), você está procurando por dois números de forma que quando eles são multiplicados você obtém (c ), e quando eles são adicionados você obtém (b ). Normalmente, você será capaz de ver imediatamente se eles existem como números inteiros.

Apenas as equações quadráticas mais simples podem ser fatoradas facilmente. Se você não foi capaz de resolver por fatoração depois de alguns minutos, é melhor tentar um método diferente.

Exemplo Trabalhado


$$ boldsymbol {x ^ 2 + 9x +20 = 0} $$

Você sabe que 4 × 5 = 20 e 4 + 5 = 9.

Os dois colchetes são, portanto, ( (x ) + 4) ( (x ) + 5).

Esta expressão deve ser igual a zero, então (x ) + 4 = 0 ou (x ) + 5 = 0.

As duas soluções da equação são ( boldsymbol {x} ) = −4 e ( boldsymbol {x} ) = −5 .

Por que existem duas soluções para uma equação quadrática?


Porque o gráfico tem a forma de uma parábola.

Abaixo está o gráfico da equação usada no exemplo acima (y ) = (x )dois+ 9 (x ) + 20.

Os dois valores de (x ) são conhecidos como raízes da equação. Estes são os valores de (x ) quando (y ) = 0. No gráfico, (y ) = 0 no eixo x. Os pontos (x ) = −4 e (x ) = −5 são, portanto, onde a curva da equação cruza o eixo x. O valor mínimo de (y ) (o ponto mais baixo da curva) ocorre entre (x ) = −4 e (x ) = −5. É possível ver a curva caindo abaixo do eixo x neste gráfico.

Olhando para a equação novamente, quando (x ) = 0, então (y ) = 20. No gráfico, podemos ver que a curva cruza o eixo y ( (x ) = 0) em + 20 Isso é conhecido como intercepto y e é sempre o valor de (c ) em uma equação quadrática.

encontrando uma porcentagem entre dois números
Gráfico da equação y = x ^ 2 + 9x + 20

2. Usando uma Fórmula

Se os dois fatores não forem óbvios, a próxima etapa é usar uma fórmula. Todas as equações quadráticas que podem ser resolvidas darão uma resposta usando a fórmula:

$$ large x = frac {-b pm sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a} $$

Neste caso, (a ) é o coeficiente de (x )dois, (b ) de (x ), e (c ) é o número no final quando a equação está na forma (ax )dois+ (bx ) + (c ) = 0.

Qualquer equação que tenha termos com (x )dois, (x ) e os números podem ser transformados na forma (ax )dois+ (bx ) + (c ) = 0, e então resolvido usando a fórmula.

Como você pode ter (b ) mais ou menos a raiz quadrada, as equações quadráticas sempre têm duas soluções, conforme mostrado na caixa de informações acima. Eles são chamados de raízes da equação, e a razão para isso é mais óbvia quando olhamos para a fórmula (( pm sqrt) ).

É importante lembrar que algumas equações quadráticas não têm uma resposta 'real'.

Por exemplo, se (b )dois&menos; 4 (ac ) é negativo, então não haverá uma resposta real, porque você não pode ter uma raiz quadrada de um número negativo, exceto na forma de um número imaginário (há mais sobre números imaginários em nossa página em números e conceitos especiais )


3. Concluindo o quadrado

Se sua equação quadrática não pode ser fatorada, uma alternativa ao uso da fórmula é um método chamado Completando o quadrado . É possivelmente o método mais complicado de entender. Exige que você reorganize a equação para que ela se torne um trinômio quadrado perfeito '(Um trinômio é uma expressão matemática com três termos).

Isso parece muito complicado, mas é apenas 'linguagem matemática' para dizer que você pode usar este método para converter uma equação quadrática de uma que não pode ser fatorada em outra que pode ser fatorada, e você pode encontrar a solução calculando sua raiz quadrada.

Este método só funciona para (ax )dois+ (bx ) + (c ) = 0 quando (a ) = 1. Se (b ) for par, então ainda melhor.

Para resolver a equação, precisamos introduzir outra expressão:

$$ (x + frac b2) ^ 2 + c $$

Esta expressão pode ser expandida para dar

$$ x ^ 2 + bx + left ( frac b2 right) ^ 2 + c $$

É igual à equação quadrática original, mas com um termo extra (( frac b2) ^ 2 )

A equação original pode, portanto, ser reescrita como a nova expressão, sem o termo extra:

$$ (x + frac b2) ^ 2 - left ( frac b2 right) ^ 2 + c = 0 $$

Reorganizar esta nova equação dá

$$ (x + frac b2) ^ 2 = -c left ( frac b2 right) ^ 2 $$

Isso pode ser resolvido tirando a raiz quadrada de cada lado.

Os seguintes exemplo trabalhado torna este método mais fácil de entender:

Encontre os valores de ( boldsymbol {x} ) quando ( boldsymbol {x} )dois&menos; 18 ( boldsymbol {x} ) + 72 = 0

Primeiro você completa o quadrado adicionando (( frac b2) ^ 2 ) a cada lado.

Neste caso, este termo extra é ((18 ÷ 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 81 )

$$ x ^ 2 - 18x + 81 = -72 + 81 $$

Em seguida, você fatora o lado esquerdo:

$$ (x - 9) (x - 9) = 9 $$

Este é o mesmo que

$$ (x - 9) ^ 2 = 9 $$

Você pode ver que usando este método, o lado esquerdo da equação original foi convertido em um trinômio quadrado perfeito . Isso pode ser resolvido tomando as raízes:

$$ x - 9 = pm sqrt {9} $$ $$ x = 21 pm 3 $$

Conclusão

Depois de ler esta página e seguir os exemplos, você agora deve estar se sentindo mais confiante sobre sua capacidade de lidar com equações bastante complexas.

quando usar um gráfico de barras ou gráfico de linha

Lembre-se da regra de ouro:

Sempre faça a mesma coisa para cada lado da equação

Se você fizer isso, você ficará bem.


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Análise Estatística Simples
Teoria de conjuntos